Métodos de un paso

Métodos de un paso: Método de Euler, Método de Euler mejorado y Método de Runge-Kutta.

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:
PVI = \left \{ \begin{array}{rcl} {dy\over dx} = f(x,y)\\ y(x_0) = y_0\\ y(x_i)=? \end{array} \right .
Consiste en multiplicar los intervalos que va de x_o\,  a x_f\,  en n\,  subintervalos de ancho h\, ; osea:
h = {x_f - x_o \over n}\,
de manera que se obtiene un conjunto discreto de  n+1 \, puntos:  x_o, x_1, x_2,.......,x_n\, del intervalo de interes  [x_o,x_f]\, . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:

x_i = {x_0 + ih}, \,  0 \le i \le n \,.

La condición inicial  y(x_o) = y_o \,, representa el punto  P_o = (x_o, y_o)\, por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como  F(x)= y \,.
Ya teniendo el punto  P_o\, se puede evaluar la primera derivada de  F(x)\, en ese punto; por lo tanto:

F'(x) = {dy\over dx} \bigg\vert\begin{matrix}\\{P_o}\end{matrix} = f(x_o,y_o)\,

Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  P_o\, y de pendiente  f(x_o, y_o)\,. Esta recta aproxima  F(x)\, en una vecinidad de  x_o \,. Tómese la recta como reemplazo de  F(x) \, y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a  x_1\,. Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:

{y_1 - y_o\over x_1 - x_o} = f(x_o,y_o) \,

Se resuelve para  y_1\,:
y_1 = y_o+(x_1 - x_o) f (x_o,y_o) = y_o + h f(x_o, y_o) \,

Es evidente que la ordenada  y_1 \, calculada de esta manera no es igual a  F (x_1)\,, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor  y_1 \, sirve para que se aproxime  F' (x) \, en el punto  P = (x_1,y_1)\, y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:
\begin{array}{crl} y_1 = y_o + h f (x_o,y_o)\\ y_2 = y_1 + h f (x_1,y_1)\\ .\\ .\\ .\\ y_{i+1} = y_i + h f (x_i,y_i)\\ .\\ .\\ .\\ y_n = y_{n-1} + h f (x_{n-1},y_{n-1})\\ \end{array} \quad \,
Método de Euler Mejorado
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmula es la siguiente: 
Monografias.com
Donde
Monografias.com
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 
Monografias.comEn la gráfica, vemos que la pendiente promedio  Monografias.comcorresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  Monografias.comdonde  Monografias.comes la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto  Monografias.comcomo la aproximación de Euler mejorada. 

Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.
Sea
y'(t) = f(t, y(t)) \,
una ecuación diferencial ordinaria, con  f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n donde \Omega \, es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea
(t_0, y_0) \in \Omega.

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
y_{n+1} = y_n + h\,\sum_{i=1}^s b_ik_i,
donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento \Delta t_n entre los sucesivos puntos t_n y t_{n+1}. Los coeficientes k_i son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local
k_i = f \left( t_n + h\, c_i\, , y_n + h\,\sum_{j=1}^s a_{ij}k_j \right ) \quad i=1,...,s.
con  a_{ij}, b_i, c_i  coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes  a_{ij}  del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,  a_{ij}=0  para j=i,...,s , los esquemas son explícitos.


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