MÉTODO DE BISECCION

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones de una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.¹​ Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x)=0.

El método consiste en lo siguiente:

• Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
• A continuación se verifica que ${\displaystyle \scriptstyle f(a)\cdot f(b)<0}$
• Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
• En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
• Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
• Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

${\displaystyle {\frac {\left|b-a\right|}{2^{n}}}}$

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

Para aplicar el método consideremos tres sucesiones ${\displaystyle a_{n}\leq r_{n}\leq b_{n}\,}$ definidas por las siguientes relaciones:

${\displaystyle r_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad a_{n+1}={\begin{cases}a_{n}&{\mbox{si }}f(a_{n})\cdot f(r_{n})<0\\r_{n}&{\mbox{si }}f(a_{n})\cdot f(r_{n})>0\end{cases}},\quad b_{n+1}={\begin{cases}b_{n}&{\mbox{si }}f(b_{n})\cdot f(r_{n})<0\\r_{n}&{\mbox{si }}f(b_{n})\cdot f(r_{n})>0\end{cases}}}$

Donde los valores iniciales vienen dados por:

${\displaystyle a_{0}:=a,\quad b_{0}:=b}$

Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del intervalo:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }r_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

El método de bisección es uno de los más versátiles para determinar una raíz real en un intervalo de una ecuación dada, es fácil de comprender, aunque si se desea una mayor exactitud el número de cálculos que hay que realizar aumenta considerablemente.

Una de sus ventajas es que funciona para ecuaciones algebraicas y trascendentes, pero se recomienda utilizarlo después de un análisis gráfico.

El Teorema de Bolzano establece las condiciones necesarias para la existencia de al menos un cero de una función continua.

Teorema de Bolzano
Si f(x) es continua en el intervalo [a,b], con f(a)∙f(b)<0, entonces existe al menos un c∈]a,b[ tal que f(c)=0

El método de bisección se basa en el Teorema de Bolzano, el cual afirma que si se tiene una función real y=f(x) continua en el intervalo ]a,b[ donde el signo de la función en el extremo a es distinto al signo de la función en el extremo b del intervalo, entonces existe al menos un c∈]a,b[ tal que f(c)=0, que es la raíz buscada, como se muestra en la imagen construida en Winplot.