Integración numérica

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.
Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 1/3 y 3/8.

En matemáticas la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.




La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).


La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b,f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

y donde el término error corresponde a:

Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].
Regla del trapecio compuesta


La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida

representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:

REGLAS DE SIMPSON:

Ademas de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de obtener una estimacion mas exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.
A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

·         REGLA DE SIMPSON DE 1/3
 La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuacion:
Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Despues de integrar y de reordenar terminos, resulta la siguiente ecuacion:

·         REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.

Asi­ como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integracion en segmentos de igual anchura.
h=(b-a)/n
La integral total se representa como:


Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:

reordenando los terminos, se obtiene:


·         REGLA DE SIMPSON DE 3/8.

De manera similar a la derivacion de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar;


para obtener

En donde
h=(b-a)/3.

A esta ecuacion se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un multiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integracion de Newton-Cotes.
 
·         REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el mrtodo de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la version de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos multiples cuando el numero de segmentos es impar.
Para una estimacion de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los ultimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimacion con exactitud de tercer orden a traves del intervalo completo

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