MÉTODOS NUMÉRICOS

Integración Múltiple y Numérica Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las  aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se  encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de  volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas  están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas,  centros de masa y momentos de inercia para una región  bidimensional.  ÁREA DE UNA FIGURA PLANA: Recordemos la integral doble como el volumen de un solido S definido sobre una region R y bajo la grafica de una función  f.  Ahora vamos a considerar  f(xy)=1 , entonces la integral queda de la siguiente manera: Donde ∫∫dA representa el volumen de un solido de volumen transversal constante, cuya base es la region R. Para un solido con estas características  el volumen se obtiene como el producto del área  de la base y altura del mismo As...

Las integrales múltiples Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, las cuales son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión {\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx} se refiere a una integral iterada, la parte externa {\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx} es la integral con respecto a  x  de la función de  x : {\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy.} Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y solo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es  {\display...

En análisis numérico, la  integración numérica  constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término  cuadratura numérica  (a menudo abreviado a  cuadratura ) es más o menos sinónimo de  integración numérica , especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida: {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue: {\displaystyle y'(x)=f(x),\quad y(a)=0} Encontrar  y ( b ) es equivalente a calcular la integral. Los mé...

Se desarrollarán fórmulas para aproximaciones de diferencias hacia delante, hacia atrás y centradas para la primera derivada utilizando la serie truncada de  Taylor . En el mejor de los casos, estas estimaciones presentan errores de orden  O ( h 2 ) ; es decir, sus errores fueron proporcionales al cuadrado de su tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la serie de  Taylor . Diferencias Divididas Finitas, 1ª derivada: Definiendo un tamaño de paso  h = x i+1  – x i - Hacia delante: - Hacia atrás: - Central: Diferenciación de fórmulas de alta exactitud: Se pueden generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de  Taylor . Teniendo en cuenta el término de la segunda derivada:   Despejando para la primera derivada:   De la expansión de  Taylor   hacia delante para  f ( x i+2 )  en términos de  f ( x i ) :   ...